Panjang pengikat minimum yang dibutuhkan untuk mengikat pipa berdiameter $d$ meter dalam satu ikatan (kumpulan), dimana satu ikatan (kumpulan) pipa terdiri dari $2,\ 3,\ 4, 5,\ \text{atau}\ n$ pipa.Soal yang terkadang jadi masalah seperti yang disebutkan di atas adalah salah satu contoh masalah penerapan matematika dalam kehidupan sehari-hari pada materi lingkaran. Masalah ini umumnya diujikan pada saat belajar lingkaran di SMP, sehingga soal-soal seperti di atas sangat berpeluang diujikan pada Ujian Nasional Matematika SMP, kompetisi matematika SMP atau ujian seleksi masuk SMA tertentu.
Soal yang hampir mirip, pernah diujikan pada saat seleksi akademik masuk Asrama Yayasan Soposurung SMAN 2 Balige, soal lengkapnya seperti berikut ini:
Panjang tali yang dibutuhkan untuk mengikat $3$ batang kayu bila diameter kayu $14$ dm adalah...Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
(A).\ & 8.600\ cm \\
(B).\ & 860\ cm \\
(C).\ & 86\ cm \\
(D).\ & 8,6\ cm
\end{align}$
Sebagai ilustrasi tambahan, kita beri titik-titik tambahan pada gambar agar menghitung panjang tali yang dibutuhkan (*minimum) untuk mengikat ketiga kayu diatas lebih mudah. Kurang lebih seperti berikut ini:
Panjang $AB=CD=EF=14$ dan panjang busur $BC=DE=FA$ sehingga $(AB+BC+CD+DE+EF+FA=3 \times (14+ BC)$
Perhatikan segitiga $PQR$ sama sisi dengan panjang sisi $14$ sehingga besar sudut: $\measuredangle QBC=60^{\circ}$.
Perhatikan persegi panjang $ABQP$, sehingga $\measuredangle BQP=90^{\circ}$; dan karena $\measuredangle PQR=60^{\circ}$ sehingga besar $\measuredangle BQC=120^{\circ}$.
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times 2 \dfrac{22}{7} \cdot 7 \\
& =\dfrac{44}{3}
\end{align}$
Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
3 \times (AB+ BC) & =3 \times \left( 14+\dfrac{44}{3} \right) \\
& =42 +44 \\
& =86\ dm \\
& =8.600\ cm
\end{align}$
Berikut kita coba dapatkan bentuk umum untuk mencari panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk posisi lingkaran diikat mendatar, posisi lingkaran kita ilustrasikan seperti beberapa gambar berikut ini:
Satu Lingkaran
Dua Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat dua buah lingkaran secara mendatar yang berdiameter $d$ seperti gambar adalah...
Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (d+ BC)$
Perhatikan persegi $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan $\measuredangle BPC=180^{\circ}$.
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$
Panjang tali minimum adalah $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (d+ BC) & =2 \times \left( d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =2d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 2 \right)d
\end{align}$
Tiga Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat tiga buah lingkaran secara mendatar yang berdiameter $d$ seperti gambar adalah...
Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=2d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (2d+ BC)$
Perhatikan persegi panjang $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$
Panjang tali minimum adalah $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (2d+ BC) & =2 \times \left( 2d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =4d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 4 \right)d
\end{align}$
Empat Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah lingkaran secara mendatar yang berdiameter $d$ seperti gambar adalah...
Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=3d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (3d+ BC)$
Perhatikan persegi panjang $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$
Panjang tali minimum adalah $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (3d+ BC) & =2 \times \left( 3d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =6d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 6 \right)d
\end{align}$
- Untuk $1$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 0 \right)d$
- Untuk $2$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 2 \right)d$
- Untuk $3$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 4 \right)d$
- Untuk $4$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 6 \right)d$
$\vdots$ - Untuk $n$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 2n-2 \right)d$
Berikut kita coba dapatkan bentuk umum untuk mencari panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk posisi lingkaran diikat bertingkat, posisi lingkaran kita ilustrasikan seperti beberapa gambar berikut ini:
Dua Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat dua buah lingkaran secara mendatar yang berdiameter $d$ seperti gambar adalah...Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (d+ BC)$
Perhatikan persegi $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan $\measuredangle BPC=180^{\circ}$.
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$
Panjang tali minimum adalah $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (d+ BC) & =2 \times \left( d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =2d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 2 \right)d
\end{align}$
Tiga Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat tiga buah lingkaran yang berdiameter $d$ disusun bertingkat seperti gambar adalah...
Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DE+EF+FA)$,
Panjang $AB=CD=EF=d$ dan panjang busur $BC=DE=FA$ sehingga $(AB+BC+CD+DE+EF+FA$$=3 \times (d+ BC)$
Perhatikan segitiga $PQR$ sama sisi dengan panjang sisi $d$ sehingga besar sudut: $\measuredangle QBC=60^{\circ}$.
Perhatikan persegi panjang $ABQP$, sehingga $\measuredangle BQP=90^{\circ}$; dan karena $\measuredangle PQR=60^{\circ}$ sehingga besar $\measuredangle BQC=120^{\circ}$.
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times \pi\ d
\end{align}$
Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
3 \times (d+ BC) & =3 \times \left( d+\dfrac{1}{3} \times \pi\ d \right) \\
& =3d+ \pi\ d \\
& =(3+\pi) d
\end{align}$
Empat Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah lingkaran yang berdiameter $d$ disusun bertingkat seperti gambar adalah...
Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA)$,
Panjang $AB=CD=EF=GH=d$ dan panjang busur $BC=DE=FG=HA$ sehingga $AB+BC+CD+$$DE+EF+FG+GH+HA=$$4 \times (d+ BC)$
Perhatikan persegi panjang $ABPO$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{90}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{4} \times \pi\ d
\end{align}$
Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
4 \times (d+ BC) & =4 \times \left( d+\dfrac{1}{4} \times \pi\ d \right) \\
& =4d+ \pi\ d \\
& =(4+\pi) d
\end{align}$
Lima Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah lingkaran yang berdiameter $d$ disusun bertingkat seperti gambar adalah...
Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DE+$$EF+FG+GH+HA)$,
Panjang $AB=2d$, $CD=EF=GH=d$, panjang busur $BC=AH$ dan $DE=FG$ sehingga $AB+BC+CD+DE+$$EF+FG+GH+HA$$=2d+3d+2BC+2DE$$=5d+2BC+2DE$
Perhatikan persegi panjang $ABPO$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;
Perhatikan segitiga $PQS$ adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi $d$ sehingga besar $\measuredangle BPC=120^{\circ}$ dan $\measuredangle DQE=60^{\circ}$.
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times \pi\ d
\end{align}$
Panjang busur $DE$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{60}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{6} \times \pi\ d
\end{align}$
Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
& 5d+2BC+2DE \\
& = 5d+2 (\dfrac{1}{3} \times \pi\ d )+2(\dfrac{1}{6} \times \pi\ d) \\
& = 5d+ \dfrac{2}{3} \pi\ d )+ \dfrac{1}{3} \pi\ d \\
& = 5d+ \pi\ d \\
& = (5 + \pi)d
\end{align}$
Enam Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah lingkaran yang berdiameter $d$ disusun bertingkat seperti gambar adalah...
Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+$$DE+EF+FA)$,
Panjang $AB=CD=EF=2d$, dan panjang busur $BC=DE=FA$ sehingga $(AB+BC+CD+$$DE+EF+FA)$$=3(2d+BC)$
Perhatikan persegi panjang $ABPQ$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;
Perhatikan segitiga $PQR$ adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi $2d$ sehingga besar $\measuredangle BQC=120^{\circ}$.
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times \pi\ d
\end{align}$
Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
& 3(2d+BC) \\
& = 3 (2d+ \dfrac{1}{3} \times \pi\ d ) \\
& = 6d+ \pi\ d ) \\
& = (6 + \pi)d
\end{align}$
- Untuk $2$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 2 \right)d$
- Untuk $3$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 3 \right)d$
- Untuk $4$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 4 \right)d$
- Untuk $4$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 5 \right)d$
$\vdots$ - Untuk $n$ lingkaran $p=\left( \pi\ + n \right)d$
Soal UMPTN 1993 (Rayon A) (*Soal Lengkap)
Enam buah pipa, masing-masing dengan garis tengah $d$, diikat erat seperti pada gambar. Jika arah tali pengikat tegak lurus pada arah panjang pipa, maka panjang tali yang melilit pipa itu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 9d \\
(B)\ & 3+ \dfrac{\pi}{2}d \\
(C)\ & (6+\pi)d \\
(D)\ & (6+\dfrac{3}{4}\pi)d \\
(D)\ & (12+2\pi)d
\end{align}$
Seperti hasil diskusi kita di atas panjang tali minimum yang diperlukan untuk mengikat enam pipa adalah $(6 + \pi)d$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (6+\pi)d$
Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Ternyata ini Sebab Guru jadi Galak;
